Question

已知數(shù)列{ }、{ }滿足：.

（1）求

（2）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列和{ }的通項公式；

（3）設(shè)，求實數(shù)為何值時 恒成立.

 

Answer 1

（1） ；（2） ， ；

【解析】

試題分析：（1）由，

可求出 ；

（2）扣住等差數(shù)列的定義，從定義出發(fā)進行證明，

利用條件推導(dǎo)出，即得證：

∵

∴，

∴

∴ 數(shù)列{}是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列

∴

∴

（3）借助前兩問，利用裂項求和法，可得出

，問題轉(zhuǎn)化為

設(shè)f(n)= <0，恒成立問題，

對進行討論，分三種情況，從而可得出答案，見詳解.

試題解析：（1） ∵ ∴

（2）∵

∴，

∴ ， ∴

∴ 數(shù)列{}是以4為首項，1為公差的等差數(shù)列

∴

∴

（3）已知 ，所以

由條件可知恒成立即可滿足條件.

設(shè)f(n)=

當(dāng)=1時，f(n)=-3n-8<0恒成立；

當(dāng)>1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立；

當(dāng)<1時，對稱軸，f(1)在為單調(diào)遞減函數(shù)，

f(1)= ==4-15<0

所以<

所以<1時恒成立

綜上知，時 ，恒成立 .

考點：等差數(shù)列，等比數(shù)列，二次函數(shù)，分類討論.