Question

（19）如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，側(cè)面B₁BCC₁與底面ABC所成的二面角為120°，E、F分別是棱B₁C₁、A₁A的中點(diǎn).

（Ⅰ）求A₁A與底面ABC所成的角；

（Ⅱ）證明A₁E∥平面B₁FC；

（Ⅲ）求經(jīng)過A₁、A、B、C四點(diǎn)的球的體積.

Answer 1

（19）本小題主要考查棱柱、球、二面角、線面關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力。

（Ⅰ）解：過A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足為H。連結(jié)AH，并延長交BC于G，連結(jié)EG，于是∠A₁AH為A₁A與底面ABC所成的角。

∵∠A₁AB=∠A₁AC，

∴AG為∠BAC的平分線

又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G為BC的中點(diǎn)。

因此，由三垂線定理，

A₁A⊥BC。

∵A₁A//B₁B，且EG//B₁B，∴EG⊥BC。于是∠AGE為二面角A-BC-E的平面角，即

∠AGE=120°。

由于四邊形A₁AGE為平行四邊形，得

∠A₁AG=60°。

所以，A₁A與底面ABC所成的角為60°。

（Ⅱ）證明：設(shè)EC與B₁C的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn)。連結(jié)PF。

在平行四邊形AGEA₁中，因F為A₁A的中點(diǎn)，故A₁E//FP.

而FP平面B₁FC，A₁E平面B₁FC，所以A₁E//平面B₁FC。

（Ⅲ）解：連結(jié)A₁C。在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AC=∠A₁AB，A₁A=A₁A，則

△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B。由已知得

A₁A=A₁B=A₁C=α。

又∵A₁H⊥平面ABC，∴H為△ABC的外心。

設(shè)所求球的球心為O，則O∈A₁H，且球心O與A₁A中點(diǎn)的連線OF⊥A₁A。

在Rt△A₁FO中，

A₁O=。

故所求球的半徑R=α。球的體積

V=。