Question

圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．
（1）求該拱橋所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若在水面上有一寬為2米，高為1.6米的船只能否安全通過拱橋？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線開口向下，建立直角坐標(biāo)系如圖所示．設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=-2py（p＞0），結(jié)合題意將點(diǎn)（2，-2）坐標(biāo)代入解出p=1，從而得到該拱橋所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否滿足縱坐標(biāo)y≤-1.6，由此進(jìn)行計(jì)算即可得到該船只不能安全經(jīng)過拋物線形拱橋．

解答：解：（1）以拋物線的軸為y軸，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所求直角坐標(biāo)系
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=-2py（p＞0）
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，-2）
∴2²=-2p•2，得p=1，
即所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=-2y；
（2）寬為2米，高為1.6米的船只能否安全通過拱橋，
即當(dāng)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1時(shí)，是否滿足縱坐標(biāo)y≤-1.6
∵當(dāng)x=1時(shí)，由1²=-2y得y=-

1

2

＞1.6
∴該船只不能安全經(jīng)過拋物線形拱橋．

點(diǎn)評：本題以拋物線形拱橋?yàn)槔�，求曲線的方程并研究船只能否過橋問題，著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．