Question

（2008•臨沂二模）過拋物線y²=x的焦點F的直線l的傾斜角θ≥

π

4

，直線l交拋物線于A、B兩點，且A點在x軸上方，則|AF|的取值范圍是（　�。�

• A．(

  1

  4

  ，1+

  2

  2

  ]
• B．[

  1

  4

  ，1)
• C．(

  1

  4

  ，1]
• D．[

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），依題意可求得拋物線y²=x的焦點F（

1

4

，0）與準(zhǔn)線方程x=-

1

4

；利用拋物線的定義，將|AF|轉(zhuǎn)化為點A到其準(zhǔn)線的距離，通過解方程組即可求得|FA|的最大值，從而可得|AF|的取值范圍．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），依題意，拋物線y²=x的焦點F（

1

4

，0），準(zhǔn)線方程為x=-

1

4

；
由拋物線的定義知，|FA|=x₁+

1

4

；
當(dāng)θ=180°時，x₁=0，|FA|=

1

4

，此時直線和拋物線只有一個交點，與題意不符；
當(dāng)θ=45°時，|FA|最大，此時直線FA的方程為：y=x-

1

4

；
由

y2=x y=x- 1 4

得x²-

3

2

x+

1

16

=0，
解得x=

3

4

+

2

2

或x=

3

4

-

2

2

（舍）．
∴|FA|_max=

3

4

+

2

2

+

1

4

=1+

2

2

．
∴|AF|的取值范圍是（

1

4

，1+

2

2

]．
故選A．

點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查方程思想與等價轉(zhuǎn)化思想，考查運算能力，屬于中檔題．