Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，△ABC為邊長為2的正三角形，點(diǎn)P在A₁B上，且AB⊥CP．
（1）證明：P為A₁B中點(diǎn)．
（2）若A₁B⊥AC₁，求二面角B₁-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取AB中點(diǎn)Q，連接PQ，由于CQ⊥AB，AB⊥CP，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB⊥平面CPO，從而得到AB⊥PQ又A₁A⊥AB得A₁A∥PQ，而點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，得到P為A₁B的中點(diǎn)；
（2）連接AB₁，取AC中點(diǎn)R，連接A₁R，連B₁A，B₁R，BR，過B作BH⊥B₁R，垂足為H，過B作BG⊥PC，連接GH，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠BGH為二面角B₁-PC-B的平面角，在三角形BGH中求出此角即可．

解答：解：（1）證明：取AB中點(diǎn)Q，∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP，∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ，A₁A⊥AB
得A₁A∥PQ，點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)
∴P為A₁B的中點(diǎn)（4分）
（2）連接AB₁，取AC中點(diǎn)R，連接A₁R，
則BR⊥平面A₁C₁CA，∴BR⊥AC₁，由已知A₁B⊥AC₁，∴A₁R⊥AC₁，∴△AC₁C～△A₁RA∴

C1C

AC

=

1 2 AC

A1A

，∴AC=

2

A1A（6分）
則AA1=

2

，則AC=2
連B₁A，B₁R，BR，∵AC⊥平面B₁BR，∴平面B₁AC⊥平面B₁BR，
平面B₁AC∩平面B₁BR=B₁R，過B作BH⊥B₁R，垂足為H，
則BH⊥平面B₁PC，過B作BG⊥PC，
連接GH，那么∠BGH為二面角B₁-PC-B的平面角（8分）
在△B₁BR中，BH=

30

5

在△PBC中，BG=

3 0

21

（10分）∴sin∠BGH=

21

5

∴cos∠BGH=

2

5

（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及二面角的度量，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力，屬于常規(guī)題．