Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-3ax²+1．
（1）若x=1為函數(shù)f（x）的一個極值點，試確定實數(shù)a的值，并求此時函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=1為函數(shù)f（x）的一個極值點，則f'（1）=0求出a的值，最后利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的極值點，代入原函數(shù)，求出極值即可；
（2）討論a的正負，然后分別解f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）∵f（x）=2x³-3ax²+1，∴f'（x）=6x²-6ax．依題意得f'（1）=6-6a=0，解得a=1．
所以f（x）=2x³-3x²+1，f'（x）=6x（x-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=1．列表如下：

x	（-∞，0）		（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當x=0時，函數(shù)f（x）取得極大值f（0）=1；
當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0．
（2）∵f′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
∴①當a=0時，f′（x）=6x²≥0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a＞0時，f′（x）=6x（x-a），f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）		（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由上表可知，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增；
③同理可得，當a＜0時，函數(shù)f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當a=0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a）；
當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，a）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，0）．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．