Question

已知橢圓的中心在原點，焦點F在y軸的非負半軸上，點F到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點F距離的最大值是6．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程和離心率e；
（Ⅱ）若F′為焦點F關(guān)于直線y=

3

2

的對稱點，動點M滿足

|MF|

|MF′|

=e，問是否存在一個定點M，使M到點A的距離為定值？若存在，求出點A的坐標及此定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓長半軸長及半焦距，根據(jù)已知可求得a，進而利用橢圓上的點到焦點F距離的最大值是6．求得c，則b可求，進而可求得橢圓的方程和離心率．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中橢圓的方程可求得焦點的坐標，設(shè)出M的坐標根據(jù)題意利用兩點間的距離公式求得x和y的關(guān)系式，進而判斷出存在一個定點A（0，

7

3

），使M到A點的距離為定值，其定值為

2

3

．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，由已知得

a=4 a+c=6

，
解得a=4，c=2．
所以橢圓的標準方程為

x2

12

+

y2

16

=1．
離心率e=

2

4

=

1

2

（Ⅱ）F（0，2），F(xiàn)′（0，1），設(shè)M（x，y）由

|MF|

|MF′|

=e得

x2+(y-2)2

x2+(y-1)2

=

1

2

化簡得3x²+3y²-14y+15=0，即x²+（y-

7

3

）²=（

2

3

）²
故存在一個定點M（0，

7

3

），
使M到A點的距離為定值，其定值為

2

3

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．考查學(xué)生對橢圓基礎(chǔ)知識的綜合理解．