Question

已知函數(shù)f(x)=-cos2x-4λsin

x

2

cos

x

2

-2，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值g（λ）（用參數(shù)λ的代數(shù)式表示）；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值等于-8求λ的值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)二倍角公式以及平方關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用配方法，討論λ的范圍，求出函數(shù)的最小值．
（2）利用函數(shù)f（x）的最小值等于-8，直接求出λ的值即可．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=-cos2x-4λsin

x

2

cos

x

2

-2=sin²x-2λsinx-3=（sinx-λ）²-3-λ²．
當(dāng)λ∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)的最小值為：-3-λ²．
當(dāng)λ＞1時(shí)，函數(shù)的最小值為：-2-2λ．
當(dāng)λ＜-1時(shí)，函數(shù)的最小值為：-2+2λ．
函數(shù)f（x）的最小值g（λ）=

-3-λ2， λ∈[-1，1] -2-2λ，λ∈(1，+∞) -2+2λ，λ∈(-∞，-1)

．
（2）函數(shù)f（x）的最小值等于-8，所以：-3-λ²=-8，λ=±

5

，不滿(mǎn)足λ∈[-1，1]；
-2-2λ=-8．λ=3，滿(mǎn)足題意λ＞1；
-2+2λ=-8，解得λ=-3，滿(mǎn)足λ＜-1；
所以滿(mǎn)足函數(shù)f（x）的最小值等于-8時(shí)λ的值為：3或-3．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．