Question

數(shù)列{a_n}是這樣確定的：a₁=1，a_n+1= pa_n+x，p≠0且p≠1，n=2，3，4．…，試歸納出a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。

Answer 1

解：a₂=pa₁+x=p+x，
a₃=pa₂+x=P（p+x）+x=p²+（p+1）x，
同理a₄=p³+（p²+p+1）x，
…
猜想a_n=P^n-1+（p^n-2+p^n-3+…+1）·x，
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，公式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，公式成立，即，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=pa_k+x=p，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立，
由（1）、（2）知，公式對(duì)任何n∈N*都成立。