Question

已知函數(shù)f（x）=（3x²-6x+6）e^x-x³．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）若x₁≠x₂滿足f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＜0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導涵數(shù)f′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
然后根據(jù)極值的定義進行判定極值即可；
（2）先由（1）得f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，故x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；
設x₁＜0＜x₂，令g（x）=f（x）-f（-x），由函數(shù)g（x）的單調(diào)性，即g（x₁）＜g（0）=0．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=（3x²-6x+6）e^x-x³．
則f′（x）=（3x²-6x+6+6x+6）e^x-3x²=3x²（e^x-1），
∴當x＞0時，f′（x）＞0；當x＜0時，f′（x）＜0．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-∞，0）．
所以f（x）在x=0處取得極小值f（0）=6，無極大值；
（2）∵f（x₁）=f（x₂），且滿足x₁≠x₂，由（1）可知x₁，x₂異號．
不妨設x₁＜0＜x₂，則-x₁＞0．
令g（x）=f（x）-f（-x）=（3x²-6x+6）e^x-x³-[（3x²+6x+6）e^-x+x³]
=（3x²-6x+6）e^x-（3x²+6x+6）e^-x-2x³，
則g′（x）=3x²e^x+3x²e^-x-6x²=3x²（e^x+e^-x-2）≥0，
所以g（x）在R上是增函數(shù)，
又g（x₁）=f（x₁）-f（-x₁）＜g（0）=0，∴f（x₂）=f（x₁）＜f（-x₁），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x₂＜-x₁，即x₁+x₂＜0．

點評：本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，并考查數(shù)學證明．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是．教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．