Question

（本題滿分13分）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其中，且成等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）如果，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），；（2）存在；。

【解析】

試題分析：（1）用基本量法，即用和表示條件即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；由時(shí)，可得到數(shù)列是一等比數(shù)列，進(jìn)一步可求其通項(xiàng)公式；

（2）用公式直接求，用錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)公式，計(jì)算與比較大小求出的最小值即可.

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依條件有，

即，解得（舍）或，

所以. 2分

由，得，

當(dāng)時(shí)，，解得，

當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

故. 5分

（2）由（1）知，，

所以 ①

②

得. 9分

又.

所以，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，所以，

故所求的正整數(shù)存在，其最小值是2. 13分

考點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，錯位相減法、不等式恒成立問題。