Question

在一條直線型的工藝流水線上有3個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如圖2-19所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為x₁，x₂，x₃，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人．現(xiàn)要在x₁與x₃之間修建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．
（1）若每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置；
（2）設(shè)從左到右工作臺(tái)上的工人人數(shù)依次為2，1，3，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值．

Answer 1

解：設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為x，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）．
（1）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|．
當(dāng)x＜x₁時(shí)，d（x）=x₁+x₂+x₃-3x在區(qū)間（-∞，x₁）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₃時(shí)，d（x）=3x-（x₁+x₂+x₃）在區(qū)間（x₃，+∞）上是增函數(shù)；
所以，x必須位于區(qū)間[x₁，x₃]內(nèi)，此時(shí)d（x）=x₃-x₁+|x-x₂|（*），
當(dāng)且僅當(dāng)x=x₂時(shí)，（*）式取最小值，且d（x₂）=x₃-x₁，即供應(yīng)站的位置為x=x₂；
（2）由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）=2|x-x₁|+|x-x₂|+3|x-x₃|
當(dāng)x＜x₁時(shí)，d（x）=2x₁+x₂+3x₃-6x在區(qū)間（-∞，x₁）上是減函數(shù)；

當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，d（x）=-2x₁+x₂+3x₃-2x在區(qū)間（x₁，x₂）上是減函數(shù)；

當(dāng)x₂＜x＜x₃時(shí)，d（x）=-2x₁-x₂+3x₃在區(qū)間（x₂，x₃）上是常數(shù)函數(shù)
當(dāng)x＞x₃時(shí)，d（x）=6x-（2x₁+x₂+3x₃）在區(qū)間（x₃，+∞）上是增函數(shù)；
所以，x必須位于區(qū)間[x₂，x₃]內(nèi)，此時(shí)d（x）取最小值．
分析：（1）設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為x，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x），由題意有d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|，然后對(duì)x的范圍進(jìn)行討論分析，知當(dāng)x=x₂時(shí)，所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．
（2）由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）=2|x-x₁|+|x-x₂|+3|x-x₃|，類似（1）的討論，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，以及綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是分類去絕對(duì)值號(hào)．