Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n=（n∈N）且a₂=2．
（1）求a₁，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：++…+＜1．

Answer 1

（1）解：n=1時(shí)，a₁=S₁==0；n=3時(shí)，0+a₂+a₃=，∴a₃=4；n=4時(shí)，0+a₂+a₃+a₄=，∴a₄=6；
（2）解：由（1）知，S_n=，∴n≥3時(shí)，S_n-1=
兩式相減，整理可得
∴a_n==2×=2（n-1）（n≥3）
∵a₁=0，a₂=2也符合上式
∴a_n=2（n-1）；
（3）證明：∵（n≥2）
∴
∴++…+=1-++…+=1-＜1
即++…+＜1．
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可求a₁，a₃，a₄的值；
（2）再寫一式，兩式相減，利用疊乘法，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）確定通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．