Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程是y=±

2

2

x．
（1）求該雙曲線的離心率；
（2）若點P（2，1）在雙曲線E上，求直線y=kx+1與該雙曲線有且僅有一個公共點時相應的k值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，得到a，b的關系，再由a，b，c的關系和離心率公式，即可得到；
（2）代入P的坐標，得到a，b的方程，解方程即可得到a，b，再聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，再討論二次項系數(shù)為0，及不為0，判別式為0的兩種情況，解得即可．

解答： 解：（1）雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±

b

a

x，
則有

b

a

=

2

2

，即有c=

a2+b2

=

a2+ 1 2 a2

=

6

2

a，
即有雙曲線的離心率e=

c

a

=

6

2

；
（2）點P（2，1）在雙曲線上，
則有

4

a2

-

1

b2

=1，
又

b

a

=

2

2

，解得，a=

2

，b=1．
則雙曲線的方程為

x2

2

-y²=1．
聯(lián)立

y=kx+1 x2-2y2=2

，消去y得：（1-2k²）x²-4kx-4=0．
當1-2k²=0時，即k=±

2

2

，x=-

1

k

，
此時直線l與雙曲線有且僅有一個公共點，滿足題意．        
當1-2k²≠0時，△=16k²-4（1-2k²）×（-4）=0．解得k=±1．
綜上所述k=±

2

2

或k=±1．

點評：熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線的相交問題，掌握方程聯(lián)立利用△與方程根的關系、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．