Question

已知函數(shù)
（1）判斷下列三個命題的真假：
①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）＜1；③當(dāng)時，f（x）取得極小值．
其中真命題有    ；（寫出所有真命題的序號）
（2）滿足的正整數(shù)n的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）對于①，考察證明f（-x）與f（x）的關(guān)系得證；對于②針對函數(shù)的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜時的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過面積關(guān)系證明sinx＜x．對于③，利用商的導(dǎo)數(shù)運算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
（2）分別令n=1，2，3，4，5，…，9．求出函數(shù)值，再比較大小即可得出答案．
解答： （1）證明：函數(shù)的定義域為x≠0，
當(dāng)x≠0時，==f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；①正確；
對于②，針對函數(shù)的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜時的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S_△OAN＜S_扇形OAN，
設(shè)的長為l，則，
∴，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴，②正確；
=
令=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但當(dāng)時，不滿足tanx=x，
故當(dāng)時，f（x）取不到極小值，故③錯．
故答案為：①②．
（2）當(dāng)n=1時，，，不滿足；

當(dāng)n=2時，，，不滿足；
…
當(dāng)n=8時，，，不滿足；
當(dāng)n=9時，，，滿足．
故滿足的正整數(shù)n的最小值為 9．
故答案為：9．
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．