Question

從橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F₁，又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP，|F1A|=

10

+

5

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：欲求橢圓方程，只需求出a，b的值即可，因?yàn)檫^點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F₁，所以F₁O=c，由AB∥OP，可得，
△PF₁O與△BOA相似，所以

PF1

F1O

=

BO

OA

，就此可得到一個含a，b，c的等式，因?yàn)椋?span id="zsjgz2l" class="MathJye">|F1A|=

10

+

5

，所以a+c=

10

+

5

，又得到一個含a，b，c的等式，再根據(jù)橢圓中，a²=b²+c²，就可解出a，b，c，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：∵AB∥OP
∴

PF1

F1O

=

BO

OA

⇒PF1=

bc

a

又∵PF₁⊥x軸
∴

c2

a2

+

y2

b2

=1⇒y=

b2

a

∴b=c
由

a+c= 10 + 5 b=c a2=b2+c2

解得：

a= 10 b= 5 c= 5

∴橢圓方程為

x2

10

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是找三個含a，b，c的等式，聯(lián)立解方程組．