Question

5．已知P（2，1）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1內(nèi)一點(diǎn)，橢圓的離心率為$\frac{1}{3}$，則橢圓以P為中點(diǎn)的弦所在直線方程是16x+9y-41=0．．

Answer 1

分析 設(shè)以P為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，作差法求出K_AB=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$，根據(jù)$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，求出k的值，從而求出直線方程即可．

解答 解：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∵A、B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的點(diǎn)，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1②，
①-②得：$\frac{{（x}_{1}{+x}_{2}）{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{{（y}_{1}{+y}_{2}）{（y}_{1}{-y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{^{2}}$，
∴K_AB=$\frac{{{y}_{1}-y}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=-$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{8}{9}$，
∴K_AB=-$\frac{16}{9}$，
故直線AB的方程是：16x+9y-41=0，
以P為中點(diǎn)的弦所在直線方程是：
16x+9y-41=0，
故答案為：16x+9y-41=0．

點(diǎn)評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判定，以及掌握弦中點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題．