Question

若復(fù)數(shù)z滿足|z＋＋i|≤1，求：

(1)|z|的最大值和最小值；

(2)|z－1|²＋|z＋1|²的最大值和最小值；

(3)|z－|²＋|z－2i|²的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)如下圖所示，||＝＝2．

　　∴|z|_max＝2＋1＝3，|z|_min＝2－1＝1．

　　(2)|z－1|²＋|z＋1|²＝2|z|²＋2．

　　∴|z－1|²＋|z＋1|²的最大值為20，最小值為4．

　　(3)如圖，在圓面上任取一點(diǎn)P，與復(fù)數(shù)z₁＝，z₂＝2i的對應(yīng)點(diǎn)A、B相連，得向量，再以為鄰邊作平行四邊形將問題再次轉(zhuǎn)化為(1)的類型．

　　設(shè)z_a＝，z_b＝2i，P為圓面上任一點(diǎn)，z_P＝z．

　　則2||²＋2||²＝||²＋(2||)²

　�。�7＋4||²，

　　∴|z－|²＋|z－2i|²＝(7＋4|z－－i|²)．

　　而|z－－i|_max＝|M|＋1＝1＋，

　　|z－－i|_min＝|M|－1＝－1，

　　∴|z－|²＋|z－2i|²的最大值為27＋，最小值為27－．