Question

（

1

x

+x）ⁿ展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為512，則展開(kāi)式中第3項(xiàng)為

45

x2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n=10，再根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式中第3項(xiàng)．

解答：解：由于（

1

x

+x）ⁿ展開(kāi)式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為512，故所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和也等于512，
故展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為2×512=2ⁿ，解得n=10．
故展開(kāi)式的第三項(xiàng)為 T₃=

C

2 10

•(

1

x

)8•x²=

45

x2

，
故答案為

45

x2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．