已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù).
(1)如果函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)在(0,4]上是減函數(shù),在[4,+∞)是增函數(shù),求b的值;
(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
a
x
(常數(shù)a>0)在(0,
a
]上是減函數(shù);
(3)設常數(shù)c∈(1,9),求函數(shù)f(x)=x+
c
x
在x∈[1,3]上的最小值和最大值.
分析:(1)根據(jù)題設條件知
2b
=4,由此可知求出b值;
(2)由已知中函數(shù)的解析式,求出函數(shù)的導函數(shù),判斷導數(shù)在(0,
a
]上的符號,進而可由導數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關系得到答案.
(3)由常數(shù)c∈(1,9),可得
c
的范圍,根據(jù)已知可得當x=
c
時,函數(shù)取最小值,比較f(1)與f(3)的大小,可得函數(shù)的最大值.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=x+
a
x
在(0,
a
]上是減函數(shù),在[
a
,+∞)上是增函數(shù)
且函數(shù)y=x+
2b
x
(x>0)在(0,4]上是減函數(shù),在[4,+∞)是增函數(shù),
2b
=4
解得b=4
證明:(2)∵函數(shù)f(x)=x+
a
x
(常數(shù)a>0)
∴f(x)=1-
a
x2
,
當x∈(0,
a
]時,x2≤a
a
x2
≥1,
此時f(x)=1-
a
x2
≤0恒成立
故函數(shù)f(x)=x+
a
x
(常數(shù)a>0)在(0,
a
]上是減函數(shù)
(3)當c∈(1,9)時,
c
∈(1,3)
故當x=
c
時,函數(shù)取最小值2
c

而f(1)-f(3)=
2(c-3)
3

故當1<c≤3時,函數(shù)的最大值是f(3)=3+
c
3

當3<c<9時,函數(shù)的最大值是f(1)=1+c
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其意義,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),熟練掌握對勾函數(shù)f(x)=x+
a
x
(常數(shù)a>0)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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