Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，，，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）先利用PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A證得PA⊥底面ABC⇒PA⊥BC；再結(jié)合∠BCA=90°，即可證得BC⊥平面PAC；
（2）先利用D為PB的中點(diǎn)⇒DE∥BC⇒DE⊥平面PAC，得到∠DAE是AD與平面PAC所成的角；然后在Rt△ADE中求出任意兩邊長即可得到AD與平面PAC所成的角的正弦值．
解法二：先建立以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=a．求出對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（1）求出，，得到BC⊥AP；再結(jié)合∠BCA=90°，即可證得BC⊥平面PAC；
（2）先利用D為PB的中點(diǎn)⇒DE∥BC⇒DE⊥平面PAC，得到∠DAE是AD與平面PAC所成的角；然后求出夾∠DAE兩邊的向量坐標(biāo)，代入向量的數(shù)量積計(jì)算公式，求出cos∠DAE；再根據(jù)同角的正余弦之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
解答：解：（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，
∴DE=BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E．
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，
∴AD=AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，
∴AD與平面PAC所成的角的正弦值是．（12分）
（解法二）：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．
（1）∵，，
∴，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC，
∴E為PC的中點(diǎn)，
∴，，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E．
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵=（-），=（0，a，a），
∴cos∠DAE=，sin∠DAE==．
∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角等知識(shí)，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角問題的能力．