Question

函數(shù)f(x)=

sin2x+1

1+ 2 sin(x+ π 4 )

，x∈[0，

π

2

]的值域是

 

．

Answer 1

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，結(jié)合已知x的范圍可求的范圍，且有t²=1+2sinxcosx，代入已知函數(shù)中有，f(x)=

sin2x+1

1+ 2 sin(x+ π 4 )

=

2sinxcosx+1

1+sinx+cosx

=

t2

1+t

=

(1+t)2-2(1+t)+1

1+t

=t+1+

1

1+t

-2在[2，1+

2

]單調(diào)遞增，從而可求．

解答：解：令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，t²=1+2sinxcosx
∵x∈[0，

π

2

]∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴t∈[1，

2

]
從而有，f（x）=

sin2x+1

1+ 2 sin(x+ π 4 )

=

2sinxcosx+1

1+sinx+cosx

=

t2

1+t

=

(1+t)2-2(1+t)+1

1+t

=t+1+

1

1+t

-2在[2，1+

2

]單調(diào)遞增
當(dāng)t+1=2即t=1時(shí)，此時(shí)x=0或x=

π

2

，函數(shù)有最小值

1

2

當(dāng)t+1=1+

2

即t=

2

時(shí)此時(shí)x=

π

4

，函數(shù)有最大值2

2

-2
故答案為：[

1

2

，2

2

-2]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用同角平方關(guān)系建立sinx+cosx與sinxcosx之間的關(guān)系，從而可把已知函數(shù)化簡(jiǎn)為用一個(gè)變量t表示的函數(shù)，考查了利用分類常量及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，綜合性較好．