Question

（理）如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖（2）．
①求直線A₁E與平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值；
③在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：①建立空間直角坐標(biāo)系，A₁E與平面CBED所成角為θ，確定平面CBED的法向量

n1

=(0，0，1)，

A1E

=(2，2，-2

3

)利用向量的夾角公式，即可求直線A₁E與平面CBED所成角的正弦值；
②求得平面A₁CD的法向量為

n2

=（1，0，0），平面A₁BE的法向量為

n3

=（2，1，

3

），利用向量的夾角公式，即可求平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值；
③設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量為

n4

=（-3a，6，

3

a）假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則

n4

•

n3

=0，由此可得結(jié)論．

解答：解：由題知DE⊥A₁D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A₁CD，∴DE⊥A₁C
又BC=3，AC=6，DE∥BC，DE=2，∴A₁D=4，CD=2
又A₁C⊥CD，∴A1C=2

3

且A₁C⊥平面CBED
以

CB

、

CD

、

CA1

為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
則C（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），E（2，2，0），A1(0，0，2

3

)
①設(shè)A₁E與平面CBED所成角為θ
∵平面CBED的法向量

n1

=(0，0，1)，

A1E

=(2，2，-2

3

)
∴sinθ=|cos＜

A1E

，

n1

＞|=

2 3

2 5

=

15

5

∴A₁E與平面CBED所成角的正弦值為

15

5

…（7分）
②平面A₁CD的法向量為

n2

=（1，0，0），
設(shè)平面A₁BE的法向量為

n3

=（x，y，z）
∵

A1B

=（3，0，-2

3

），

BE

=（-1，2，0）
∴

3x-2 3 z=0 x-2y=0

，∴可取

n3

=（2，1，

3

）
∴cos＜

n2

，

n3

＞=

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

2

2

∴平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值為

2

2

③設(shè)線段BC上存在點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a，0），則a∈[0，3]
∴

A1P

=（0，a，-2

3

），

DP

=（2，a，0）
設(shè)平面A₁DP法向量為

n4

=（x₁，y₁，z₁）
則

ay1-2 3 z1=0 2x1+ay1=0

，∴

z1= 3 6 ay1 x1=- 1 2 ay1

∴

n4

=（-3a，6，

3

a）
假設(shè)平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則

n4

•

n3

=0，
∴3a+12+3a=0，∴a=-2
∵0＜a＜3
∴不存在線段BC上存在點(diǎn)P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面角、面面角，考查面面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．