Question

如圖，某開發(fā)區(qū)旁邊有一條東北走向的公路l，開發(fā)區(qū)內(nèi)有兩工廠A，B（B在A正東4km），A工廠到公路l的距離為(

6

-

2

)km．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，解決下列問題：
（Ⅰ）求公路l所在直線的方程；
（Ⅱ）在公路l上有一站點(diǎn)M到A，B兩工廠路程之和最小，現(xiàn)要建一條經(jīng)過M的環(huán)行公路，使公路上每一點(diǎn)到A，B兩工廠路程之和相等，求環(huán)行公路所在曲線的方程；
（Ⅲ）開發(fā)區(qū)內(nèi)有一物資儲藏庫C位于B工廠西北距B工廠

2

km，在（Ⅱ）中的環(huán)行公路上設(shè)一站點(diǎn)N，使站點(diǎn)N到C，B兩地的距離之和最�。�試問：滿足要求的點(diǎn)N在什么位置（不要證明），并求|NC|+|NB|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A，B所在直線為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），設(shè)直線l的方程：y=x+m，由點(diǎn)A到l的距離為(

6

-

2

)km可得關(guān)于m的方程．解出m后即得l的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，則由題意知點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，且長軸最短的橢圓．設(shè)此橢圓的方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，則方程組

x2 b2+4 + y2 b2 =1 y=x+2 3

有唯一解，消元后
令△=0可得b²=4，進(jìn)而得a²=8；
（Ⅲ）由題意知C（1，1），在（Ⅱ）中的環(huán)行公路上設(shè)一站點(diǎn)N，使站點(diǎn)N到C，B兩地的距離之和最小，即在

x2

8

+

y2

4

=1上求一點(diǎn)N，使|NC|+|NB|最小．當(dāng)N為直線l_AC：x-3y+2=0與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1交點(diǎn)之一時，|NC|+|NB|最小，通過解方程組可得求；

解答：解：以A，B所在直線為x軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），
（Ⅰ） 設(shè)直線l的方程：y=x+m，則由題意知m＞2，直線l在點(diǎn)A的右上方，

|-2+m|

2

=

6

-

2

，|-2+m|=2

3

-2，
由m＞2得m=2

3

，∴直線l的方程：y=x+2

3

；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，則由題意知點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，且長軸最短的橢圓．
設(shè)此橢圓的方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1，則方程組

x2 b2+4 + y2 b2 =1 y=x+2 3

有唯一解，
b2(y-2

3

)2+(b2+4)y2=b2(b2+4)，(2b2+4)y2-4

3

b2y-b2(b2-8)=0，
△=48b⁴+8b²（b²-8）（b²+2）=4b²（b⁴-16）=0，b²=4，a²=8，
所求橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅲ）由題意知C（1，1），
在（Ⅱ）中的環(huán)行公路上設(shè)一站點(diǎn)N，使站點(diǎn)N到C，B兩地的距離之和最小，
即在

x2

8

+

y2

4

=1上求一點(diǎn)N，使|NC|+|NB|最小．
顯然，當(dāng)N為直線l_AC：x-3y+2=0與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1交點(diǎn)之一時，|NC|+|NB|最小，
由方程組

x2 8 + y2 4 =1 x-3y+2=0

，得（3y-2）²+2y²-8=11y²-12y-4=0，
解得

x= -4+12 5 11 y= 6+4 5 11

或

x= -4-12 5 11 y= 6-4 5 11

，
當(dāng)N(

-4+12 5

11

，

6+4 5

11

)時，(|NC|+|NB|)min=2a-|AC|=16-

10

，

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、圓錐曲線中的最值問題、橢圓在實(shí)際中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決實(shí)際問題的能力．