Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，證明：PC⊥平面BEF．

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，欲證PC⊥平面BEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PC與平面BEF內(nèi)兩相交直線垂直，而利用空間向量可求得PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，滿(mǎn)足定理?xiàng)l件．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AP=AB=2，BC=AD=2

2

，四邊形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D的坐標(biāo)為A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2

2

，0），D（0，2

2

，0），P（0，0，2）
又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，
∴E（0，

2

，0），F(xiàn)（1，

2

，1）．
∴

PC

=（2，2

2

，-2），

BF

=（-1，

2

，1），

EF

=（1，0，1），
∴

PC

•

BF

=-2+4-2=0，

PC

•

EF

=2+0-2=0，
∴

PC

⊥

BF

，

PC

⊥

EF

，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及利用空間向量求證兩直線垂直，屬于基礎(chǔ)題．