Question

已知拋物線C₁的方程為y=ax²（a＞0），圓C₂的方程為x²+（y+1）²=5，直線l₁：y=2x+m（m＜0）是C₁、C₂的公切線．F是C₁的焦點．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C₁上的一動點，以A為切點的C₁的切線l交y軸于點B，設(shè)，證明：點M在一定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓心到直線的距離等于半徑求出m，再利用導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系求出a的值即可．
（2）先求出以A為切點的切線l的方程以及點A，B的表達(dá)式，再求出，，利用即可求出點M所在的定直線．
解答：解：（1）由已知，圓C₂：x²+（y+1）²=5的圓心為C₂（0，-1），半徑．（1分）
由題設(shè)圓心到直線l₁：y=2x+m的距離．（3分）
即，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
設(shè)l₁與拋物線的相切點為A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得，．（6分）
代入直線方程得：，∴
所以m=-6，．（7分）
（2）由（1）知拋物線C₁方程為，焦點．（8分）
設(shè)，由（1）知以A為切點的切線l的方程為．（10分）
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標(biāo)為（11分）
所以，，（12分）
∴（13分）
因為F是定點，所以點M在定直線上．（14分）
點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當(dāng)直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對應(yīng)方程的判別式為0求解．本題用的是第一種．