Question

在對(duì)數(shù)函數(shù)y=log 

1

2

x的圖象上（如圖），有A、B、C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為t、t+2、t+4，其中t≥1，
（1）設(shè)△ABC的面積為S，求S=f（t）；
（2）判斷函數(shù)S=f（t）的單調(diào)性；
（3）求S=f（t）的最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（t，log 

1

2

t），（t+2，log 

1

2

（t+2）），（t+4，log 

1

2

（t+4）），
對(duì)于（1）由圖形得S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根據(jù)面積公式代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可得到三角形面積的表達(dá)式
（2）根據(jù)（1）中所求的表達(dá)式研究函數(shù)的單調(diào)性并進(jìn)行證明即可
（3）由（2）所求的單調(diào)性求出三角形面積的最大值．

解答：解：（1）A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（t，log 

1

2

t），（t+2，log 

1

2

（t+2）），（t+4，log 

1

2

（t+4）），由圖形，當(dāng)妨令三點(diǎn)A，B，C在x軸上的垂足為E，F(xiàn)，N，則△ABC的面積為
S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+2）]-[log 

1

2

（t+2）+log 

1

2

（t+4））]+2[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+4））]
=[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+4）-2log 

1

2

（t+2）]=log2

(t+2)2

t2+4t

=log2(1+

4

t2+4t

)
即△ABC的面積為S=f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)  （t≥1）

（2）f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)  （t≥1）是復(fù)合函數(shù)，其外層是一個(gè)遞增的函數(shù)，t≥1時(shí)，內(nèi)層是一個(gè)遞減的函數(shù)，故復(fù)合函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，
（3）由（2）的結(jié)論知，函數(shù)在t=1時(shí)取到最大值，故三角形面積的最大值是
S=f（1）=log2(1+

4

1 +4

)=log2

9

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)算，解題時(shí)要結(jié)合圖象進(jìn)行分析求解，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．