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證明函數f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在(-∞，-
b2a
)上是增函數．
分析：采用定義法證明，先任取x1，x2∈(-∞，-
b
2a
)，且x1＜x2，再求f（x1）-f（x2）的差，根據定義即可證明出．
解答：解：任取x1，x2∈(-∞，-
b
2a
)，且x1＜x2，f(x1)=ax12+bx1+c，f(x2)=ax22+bx2+c
f（x1）-f（x2）=a（x12-x22）+b（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]
由x1＜x2，x1-x2＜0，而x1＜-
b
2a
，x2＜-
b
2a
，所以x1+x2＜-
b
a
，
又a＜0，所以a(x1+x2)＞(-
b
a
)•a=-b，從而a（x1+x2）+b＞0
由此可知f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函數f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在(-∞，-
b
2a
)上是增函數．
點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，求關鍵是理解并掌握用定義法證明的規(guī)則及證明的步驟，用定義法證明其步驟是：任取，作差，整理，判號，得出結論，其中判號過程易錯．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足；對任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（
a
b
），且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷并證明函數f（x）的單調性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（
1
x-8
）＞2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
ax-1ax+1
，
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）當x≥0時，求函數f（x）的值域；
（3）當a＞1時，判斷并證明函數f（x）的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數y=f（x）滿足條件：對于任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（0）=0；
（2）若f（x）是奇函數，試舉出兩個這樣的函數；
（3）若當x≥0時，f（x）＜0，
1）試判斷函數f（x）在R上的單調性，并證明之；
2）判斷函數|f（x）|=a．所有可能的解的個數，并求出對應的a的范圍；

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：
①當x1，x2是定義域中的數時，有f（x1-x2）=
f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0．
（1）試證明函數f（x）是奇函數．
（2）試證明f（x）在（0，4a）上是增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a(2x+1)-22x+1
，
（Ⅰ）若函數f（x）是奇函數，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）在條件下判斷函數f（x）的單調性，并用定義加以證明．

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