Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n=1-3k，f（a_n+1）=．
（1）求f（0）的值，并證明f（x）是定義域上的增函數(shù)：
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)0＜a＜b_nS_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求出k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x+y）=f（x）f（y），進(jìn)行賦值，令x=1，y=0，可得f（0）=1，再證明x∈R時(shí)，f（x）＞0，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）是定義域上的增函數(shù)的關(guān)鍵是f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）；
（2）f（a_n+1）==，由函數(shù)的單調(diào)性知，a_n+1=，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)；
（3）求出S_n=，要使a＜S_n＜b對任意正整數(shù)n成立，即，從而可得，進(jìn)一步可得，由此可得k的取值范圍．
解答：解：（1）令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）
∵f（1）＞1，∴f（0）=1
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）=1
-x＞0，f（-x）＞1，∴
∴x∈R時(shí)，f（x）＞0
任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
∵x＜0時(shí)，f（x）＜1，∴f（x₁-x₂）-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是定義域上的增函數(shù)；
（2）f（a_n+1）==，由函數(shù)的單調(diào)性知，a_n+1=
∵a₁=1-3k，∴當(dāng)k=時(shí)，a_n=0
當(dāng)k≠時(shí)，a_n=（1-3k）；
（3）由（2）知，當(dāng)k=時(shí)，a_n=0，S_n=0，不滿足條件；
當(dāng)k≠時(shí)，a_n=（1-3k），S_n=
要使a＜S_n＜b對任意正整數(shù)n成立，即
∴
令g（n）=
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，
∴g（n）的最大值為g（1）=，最小值為g（2）=
∴
∴3a＜1-3k＜b
∴
∴當(dāng)a＜b≤3a時(shí)，，不存在實(shí)數(shù)k滿足條件；
當(dāng)b＞3a時(shí)，，存在實(shí)數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b，且k的取值范圍為（）．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查賦值法的而運(yùn)用，考查存在性問題的探究，屬于中檔題．