Question

已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，，O為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到面AEC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接CO，利用△AEB為等腰直角三角形，證明EO⊥AB，利用勾股定理，證明EO⊥CO，利用線面垂直的判定，可得EO⊥平面ABCD；
（II）利用等體積，即V_D-AEC=V_E-ADC，從而可求點(diǎn)D到面AEC的距離．
解答：（I）證明：連接CO
∵
∴△AEB為等腰直角三角形
∵O為AB的中點(diǎn)，∴EO⊥AB，EO=1…（2分）
又∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ACB是等邊三角形
∴，…（4分）
又EC=2，∴EC²=EO²+CO²，
∴EO⊥CO，
∵AB∩CO=O
∴EO⊥平面ABCD…（6分）
（II）解：設(shè)點(diǎn)D到面AEC的距離為h
∵
∴…（8分）
∵，E到面ACB的距離EO=1，V_D-AEC=V_E-ADC
∴S_△AEC•h=S_△ADC•EO…（10分）
∴
∴點(diǎn)D到面AEC的距離為…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查點(diǎn)到面距離的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法，考查等體積的運(yùn)用，屬于中檔題．