Question

已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比為

1

2

，點(diǎn)M得軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過原點(diǎn)且傾斜角為135°的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)M（x，y），利用點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比為

1

2

，建立方程，化簡(jiǎn)可得曲線C的軌跡方程；
（2）求出圓心與半徑，圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可求弦AB的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則
∵點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比為

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，
化簡(jiǎn)可得（x+1）²+y²=4…（6分）
（2）由（x+1）²+y²=4，可知圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為2，則
∵直線過原點(diǎn)且傾斜角為135°，
∴直線方程為y=-x，即x+y=0，
∴圓心到直線的距離為

1

2

，
∴弦AB的長(zhǎng)為2

4- 1 2

=

14

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．