Question

解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．

已知函數(shù)f(x)＝mx³－3(m＋1)x²＋3(m＋2)x＋1，其中m∈R．

(Ⅰ)若m＜0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)g(x)＝mx³－(3m＋2)x²＋3mx＋4lnx＋m＋1，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∴＝　　2分 　　當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表： 　　4分 　　故有上表知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減， 　　在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．　　5分 　　(Ⅱ)由已知得，即 　　又，所以()　�、佟　�6分 　　設(shè)，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立， 　　∴　　8分 　　解之得 　　又　　所以的取值范圍為　　9分 　　(Ⅲ)令，則 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1211/0021/4e376dddf9737e92da930c6aa0e99191/C/Image187.gif" width=37 height=18>，要使函數(shù)與函數(shù)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 　　 　　當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)； 　　當(dāng)時(shí)，是減函數(shù) 　　當(dāng)時(shí)，是增函數(shù) 　　∴有極大值有極小值　　12分 　　又因?yàn)楫?dāng)充分接近0時(shí)，；當(dāng)充分大時(shí)， 　　所以要使有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須 　　 　　即， 　　∴或 　　∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)． 　　14分