Question

已知函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的反函數(shù)為f^-1（x），且m為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=的交點個數(shù)，n=，則函數(shù)y=[f^-1（x）]²+的值域是________．

Answer 1

{0}
分析：先根據(jù)題設(shè)，求出函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的解析式，進而可求其反函數(shù)為f^-1（x），再求函數(shù)y=[f^-1（x）]²+的值域．
解答：由題意，當0＜x≤1時，函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=有交點（1，0）
當x＞1時，函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=x²-4x+3有一個交點，
∵m為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=的交點個數(shù)
∴m=2
∵n=，則
==1
∴函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）為f（x）=x²-1（x∈[0，1]）
∴f^-1（x）=（x∈[-1，0]）
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²+=1+x+
∵x²-1≥0
∴x≥1或x≤-1
∵x∈[-1，0]
∴x=-1
∴y=1-1+0=0
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²+的值域是{0}
故答案為{0}
點評：本題以函數(shù)為載體，考查反函數(shù)，考查圖象的交點，考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的定義域．