Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＞0時，試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），證明：$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；
（Ⅱ）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再討論參數(shù)范圍確定導(dǎo)數(shù)符號即可．
（Ⅲ）由條件得到不等關(guān)系，再進行整體換元轉(zhuǎn)化為一元不等式的證明問題．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3，
∴g′（1）=0，又g（1）=-2，
∴曲線在x=1處的切線方程為y=-2．
（Ⅱ）∵g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$=$\frac{2a（x-\frac{1}{2a}）（x-1）}{x}$（x＞0）
∴①當$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$時，令g'（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}$＜x＜1．
所以，增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）；減區(qū)間為（ $\frac{1}{2a}$，1）；
②當$\frac{1}{2a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，令g'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}$＜x＜1．
所以，增區(qū)間為（0，1），（ $\frac{1}{2a}$，+∞）；減區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，1）；
③當$\frac{1}{2a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$時，g′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$＞0，增區(qū)間為（0，+∞）．
綜上，當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，增區(qū)間為（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）；減區(qū)間為（1，$\frac{1}{2a}$）；
當a=$\frac{1}{2}$時，增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞$\frac{1}{2}$時，增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）；減區(qū)間為（$\frac{1}{2a}$，1）．
（3）依題，k=$\frac{{{y}_{2}-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，要證$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$，
即證$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$，
因x₂-x₁＞0，即證$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即證1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），…（12分）
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1）則h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1）①
同理可證：lnt＜t-1②
綜①②得1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），即$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用．考查了邏輯思維和運算能力以及轉(zhuǎn)化的思想方法．屬于難題．