Question

（2007•靜安區(qū)一模）（理）已知對(duì)于任意正整數(shù)n，都有a₁+a₂+…+a_n=n³，則

lim

n→+∞

(

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

)=

1

3

．

Answer 1

分析：先根據(jù)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n³，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，把兩式相減，得出a_n的表達(dá)式，再根據(jù)

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

）進(jìn)行解答即可．

解答：解：∵當(dāng)n≥2時(shí)，有a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n³，
a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，
兩式相減，得a_n=3n²-3n+1，
∴

1

an-1

=

1

3n(n-1)

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

，
=

1

3

（1-

1

2

）+

1

3

（

1

2

-

1

3

）+…+

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
=

1

3

（1-

1

n

）．
∴

lim

n→+∞

(

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

)
=

lim

n→∞

1

3

(1-

1

n

)
=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是部分分式，屬規(guī)律性題目，能根據(jù)題意得出

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

）是解答此題的關(guān)鍵．