Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ，an+1bn=bn+1an+bn ， 且 （n∈N*），則數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n取最大值時(shí)，n= ．

Answer 1

【答案】8
【解析】解：由 （n∈N*），則bn= ， 由an+1bn=bn+1an+bn ， 當(dāng)n=2k﹣1（k∈N*）為奇數(shù)時(shí)，﹣2a2k=3a2k﹣1﹣2，
當(dāng)n=2k（k∈N*）為偶數(shù)時(shí)，3a2k+1=﹣2a2k+3，
∴3a2k+1=3a2k﹣1+1，
∴a2k+1﹣a2k﹣1= ．因此數(shù)列{a2k﹣1}成等差數(shù)列，公差為 ，首項(xiàng)為﹣ ．
∴ a2k﹣1= + = ﹣ ．
同理可得：a2k+2﹣a2k=﹣ ．因此數(shù)列{a2k}成等差數(shù)列，公差為﹣ ，首項(xiàng)為 ．
∴ = ×n﹣ × = +2n．
∴S2n= ﹣ +2n=﹣ + n=﹣ （n﹣8）2+ ．
∴當(dāng)n=8時(shí)，數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n取最大值 時(shí)．
所以答案是：8．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．