Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）如圖，在體積為1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：CA₁⊥C₁P；
（2）當(dāng)AP為何值時(shí)，二面角C₁-PB₁-A₁的大小為

π

6

？

Answer 1

分析：（1）先以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)以及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而得到

CA1

•

C1P

=0即可得到結(jié)論；
（2）分別求出兩個(gè)半平面的法向量，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系．
又∵V ABC-A 1B 1C 1 =

1

2

AB×AC×AA₁=1，∴AB=2．（2分）
設(shè)AP=m，則P（0，m，0），而C₁（1，0，1），C（1，0，0），A₁（0，0，1），B₁（0，2，1）
∴

CA1

=（-1，0，1），

C1P

=（-1，m，-1），

B1C1

=（-1，2，0）
∴

CA1

•

C1P

=（-1）×（-1）+0×m+1×（-1）=0，
∴CA₁⊥C₁P．（6分）
（2）設(shè)平面C₁PB₁的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），

n • B1C1 =0  n • C1P =0

⇒

-x+2y=0 -x+my-z=0

令y=1，則

n

=（2，1，m-2），（9分）
而平面A₁B₁P的一個(gè)法向量

AC

=（1，0，0），
依題意可知cos

π

6

=

|n• AC |

|n|| AC |

=

3

2

，
∴m=2+

3

3

（舍去）或m=2-

3

3

．
∴當(dāng)AP=2-

3

3

時(shí)，二面角C₁-PB₁-A₁的大小為

π

6

．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查用空間向量求平面間的夾角以及用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系．是對向量知識在立體幾何中應(yīng)用的綜合考察．