如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小；

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

　　所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2所以PA⊥AB．

　　同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．　4分

　　(Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，連結EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角．

　　又PE∶ED＝2∶1，所以

　　

　　從而　8分

　　(Ⅲ)當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下：

　　取PE的中點M，連結FM，則FM∥CE．　①

　　由知E是MD的中點．

　　連結BM、BD，設BDAC＝O，則O為BD的中點．

　　所以BM∥OE．�、�

　　由①、②知，平面BFM∥平面AEC．

　　又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）證明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大�。�
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=
2
SA，點P在SD上，且SD=3PD．
（1）證明SA⊥平面ABCD；
（2）設E是SC的中點，求證BE∥平面APC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點E、F、G分別為CD、PD、PB的中點．PA=AD=2．
（1）證明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F-AE-D的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2
2
，點F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成角的大��；
（Ⅲ）若點E在棱PD上，當
PE
PD
為多少時二面角E-AC-D的大小為
π
6
？

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