Question

已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量

m

=(1，-

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=-1.
（1）求角A；
（2）若

sinB+cosB

sinB-cosB

=3，求tanC的值．

Answer 1

分析：（1）利用

m

•

n

=-1，直接得到A的關(guān)系式，利用兩角差的余弦函數(shù)，求出A的值，注意A是三角形內(nèi)角．
（2）根據(jù)

sinB+cosB

sinB-cosB

=3，求出tanB，利用C=π-（A+B），利用誘導(dǎo)公式，通過兩角和的正切，求出tanC的值．

解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

m

=(1，-

3

)，

n

=(cosA，sinA)，

m

•

n

=-1，
所以cosA-

3

sinA=-1，（2分）
所以sin(A-

π

6

)=

1

2

.（4分）
因?yàn)?span id="xyaflht" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，所以A=

π

6

=

π

6

，A=

π

3

（6分）
（2）因?yàn)?span id="2avqx5t" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

sinB+cosB

sinB-cosB

=3，
所以cosB≠0，

tanB+1

tanB-1

=3（8分）
所以tanB=2（9分）
所以tanC=tan（π-（A+B））=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

，（11分）
即tanC=-

3 +2

1-2 3

=

8+5 3

11

.（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角恒等變換，利用向量數(shù)量積，注意三角形的內(nèi)角的范圍，求出角的大小，三角形中：A+B+C=π是常用結(jié)論．