Question

雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)P（-4，6），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率e=2．
（Ⅰ）求雙曲線E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)雙曲線方程，利用雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)P（-4，6），離心率e=2，可求雙曲線E的方程；
（2）利用角平分線的性質(zhì)可求∠F₁AF₂的角平分線交x軸點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可求直線方程．

解答：解：依題意，可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），c²=a²+b²（c＞0）
（Ⅰ）∵雙曲線E經(jīng)過點(diǎn)P（-4，6），離心率e=2，
∴

16

a2

-

36

b2

=1，

a2+b2

a2

=4
∴a²=4，b²=12
∴E的方程為

x2

4

-

y2

12

=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c=4，設(shè)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
∵P（-4，6），∴PF₁⊥x軸
設(shè)∠F₁PF₂的角平分線交x軸于點(diǎn)M（m，0）
由角平分線的性質(zhì)可知

|F1M|

|MF2|

=

|PF1|

|PF2|

，即

m+4

4-m

=

10

6

，∴m=1
∴M（1，0）
故所求直線方程為y=

6-0

-4-1

（x-1），即6x+5y-6=0．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查直線方程的求解，解題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，正確理解角平分線的性質(zhì)．