Question

設(shè)三位數(shù)，若以a、b、c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)n有（ ）
A．45個(gè)
B．81個(gè)
C．156個(gè)
D．165個(gè)

Answer 1

【答案】分析：先考慮等邊三角形情況，則a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此時(shí)n有9個(gè)，再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b，列舉出所有的情況，注意去掉不能構(gòu)成三角形的結(jié)果，交換腰和底的位置，求和得到結(jié)果．
解答：解：由題意知以a、b、c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，
先考慮等邊三角形情況
則a=b=c=1，2，3，4，5，6，7，8，9，此時(shí)n有9個(gè)
再考慮等腰三角形情況，若a，b是腰，則a=b
當(dāng)a=b=1時(shí)，c＜a+b=2，則c=1，與等邊三角形情況重復(fù)；
當(dāng)a=b=2時(shí)，c＜4，則c=1，3（c=2的情況等邊三角形已經(jīng)討論了），此時(shí)n有2個(gè)；
當(dāng)a=b=3時(shí)，c＜6，則c=1，2，4，5，此時(shí)n有4個(gè)；
當(dāng)a=b=4時(shí)，c＜8，則c=1，2，3，5，6，7，有6個(gè)；
當(dāng)a=b=5時(shí)，c＜10，有c=1，2，3，4，6，7，8，9，有8個(gè)；
由加法原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52個(gè)
同理，若a，c是腰時(shí)，c也有52個(gè)，b，c是腰時(shí)也有52個(gè)
所以n共有9+3×52=165個(gè)
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件不重不漏的列舉出所有的結(jié)果，注意數(shù)字要首先能夠構(gòu)成三角形，即滿足兩邊之和大于第三邊，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．