設(shè)短軸長為是的橢圓C:和雙曲線的離心率互為的倒數(shù),過定圓E上面的每一個點都可以作兩條互相垂直的直線l1,l2,且l1,l2與橢圓的公共點都只有一個的圓的方程為   
【答案】分析:根據(jù)題意橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)可得橢圓的方程為,設(shè)出直線方程聯(lián)立橢圓方程得到一元二次方程,由△=0可得關(guān)于k的方程,再結(jié)合直線l1,l2互相垂直且兩條直線與與橢圓的交點只有一個得到xy的關(guān)系即得到圓的方程,最后檢驗斜率不存在時也符合題意即可.
解答:解:雙曲線的離心率為,于是橢圓C:的離心率為
,又由題意,以及b2+c2=a2,解得
橢圓C的方程為
設(shè)P(x,y)是⊙E上的任意一點,過P的直線l:y=k(x-x)+y,
代入中,得
即(1+2k2)x2+4k(y-kx)x+2(y-kx2-6=0,①
若直線l與橢圓的公共點只有一個,則①中判別式△=0,
即16k2(y-kx2-8(1+2k2)[(y-kx2-3]=0,
整理得關(guān)于k的方程:(6-x2)k2+2xyk-y2+3=0,②
要使得⊙E上面的每一個點都可以作兩條互相垂直的直線l1,l2,
且l1,l2與橢圓的公共點都只有一個,方程必須有兩根且兩根之積為-1,故,即x2+y2=9,
又對于點,,,,直線l1,l2中有一條斜率不存在,
另一條斜率為0,顯然成立.故這樣的⊙E,方程為:x2+y2=9.
故答案為x2+y2=9.
點評:截距處理問題的關(guān)鍵是進行準確的運算,抓住題目的關(guān)鍵如垂直關(guān)系、只有一個交點,直線與 圓錐曲線的綜合性問題,多為把關(guān)題,是學生的學習難點也是高考的重點.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:2011年江蘇省南通市啟東中學高三數(shù)學考前輔導材料(1)(解析版) 題型:解答題

設(shè)短軸長為是的橢圓C:和雙曲線的離心率互為的倒數(shù),過定圓E上面的每一個點都可以作兩條互相垂直的直線l1,l2,且l1,l2與橢圓的公共點都只有一個的圓的方程為   

查看答案和解析>>

同步練習冊答案