Question

某大學對參加了“世博會”的該校志愿者實施“社會教育實踐”學分考核，因該批志愿者表現良好，該大學決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個等次，若某志愿者考核為合格，授予0.5個學分；考核為優(yōu)秀，授予1個學分．假設該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為

4

5

、

2

3

、

2

3

，他們考核所得的等次相互獨立．
（Ⅰ）求在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）記這這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）我們分別將“甲考核為優(yōu)秀”，“乙考核為優(yōu)秀”，“丙考核為優(yōu)秀”，“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”記為A，B，C，E，根據相互獨立事件與對立事件的定義，可得事件A，B，C相互獨立，

.

A

•

.

B

•

.

C

與事件E是對立事件，根據相互獨立事件乘法公式及對立事件概率減法公式，可得在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）由已知中考核為合格，授予0.5個學分；考核為優(yōu)秀，授予1個學分．我們要得ξ的可能取值為

3

2

，2，

5

2

，3，分別計算出ξ取得各值時的概率，即可得到隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式，即可得到數學期望Eξ的值．

解答：解：（I）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，
“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E，
則事件A，B，C相互獨立，

.

A

•

.

B

•

.

C

與事件E是對立事件
則P（E）=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=1-P（

.

A

）•P（

.

B

）•P（

.

C

）=1-

1

5

×

1

3

×

1

3

=

44

45

（II）ξ的可能取值為

3

2

，2，

5

2

，3
∵P（ξ=

3

2

）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=

1

45

，
P（ξ=2）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

8

45

P（ξ=

5

2

）=P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）=

20

45

P（ξ=3）=P（A•B•C）=

16

45

∴ξ的分布列為：

∴E（ξ）=

3

2

×

1

45

+2×

8

45

+

5

2

×

20

45

+3×

16

45

=

77

30

點評：本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望，其中在求隨機變量ξ的分布列時，對隨機變量的每一個取值，要注意不重不漏，以便準確的計算出ξ取得各值時的概率，這也是計算分布列及數學期望時最容易產生的錯誤．