Question

以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程為ρ•sin²θ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當α變化時，求|AB|的最小值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把極坐標方程兩邊同時乘以ρ，代入極坐標和直角坐標的互化公式得答案；
（Ⅱ）把直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，化為關(guān)于t的一元二次方程，利用t的幾何意義求|AB|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρ•sin²θ=2cosθ，得 
（ρsinθ）²=2ρcosθ，即y²=2x．
∴曲線C的直角坐標方程為y²=2x；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
設(shè)A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

( 2cosα sin2α )2+ 4 sin2α

=

2

sin2α

，
當α=

π

2

時，|AB|的最小值為2．

點評：本題考查了極坐標方程化普通方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．