Question

（2012•上饒一模）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)F(x)=

f(x)-a

x

在[1，e]上是最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）F′(x)=

x+a

x2

(x＞0)，對(duì)a結(jié)合在[1，e]上是最小值為

3

2

，分類討論，建立等式，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

1

e

；f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

e

；
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

e

）．…（5分）
（2）F′(x)=

x+a

x2

(x＞0)．
當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴F（x）_min=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

，舍去       …（7分）
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，-a）單調(diào)遞減，在（-a，+∞）單調(diào)遞增
若a∈（-1，0），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，，∴F（x）_min=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

，舍去                     …（9分）
若a∈[-e，-1]，F(xiàn)（x）在（1，-a）單調(diào)遞減，在（-a，e）單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

，符合題意
若a∈（-∞，-e），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，F(x)min=

e-a

e

=

3

2

⇒a=-

1

2

e∉(-∞，-e)舍去   …（11分）
綜上所述：a=-

e

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．