Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過點P（1，2），且在點P處的切線斜率為8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點P（1，2）與函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8，建立關于a和b的方程組，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），令f'（x）＞0和令f'（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

解答：（Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）的圖象過點P（1，2），
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①
又函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②
解由①②組成的方程組，可得a=4，b=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞

1

3

；令f'（x）＜0，可得-3＜x＜

1

3

．
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-3），(

1

3

，+∞)，減區(qū)間為(-3，

1

3

)．

點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎題．