Question

設(shè)f(x)=x3+log2(x+

x2+1

)，則不等式f（m）+f（m²-2）≥0（m∈R）成立的充要條件是

 

．（注：填寫m的取值范圍）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析f（x）可得其是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，進(jìn)而將不等式f（m）+f（m²-2）≥0轉(zhuǎn)化為f（m）≥f（2-m²），由單調(diào)性，可得其等價于m≥2-m²，解可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，f（x）=x³+log₂（x+

x2+1

），
f（-x）=-x³+log₂（-x+

x2+1

）=-x³-log₂（x+

x2+1

），
即f（x）是奇函數(shù)，
分析單調(diào)性容易得到f（x）是增函數(shù)，
則不等式f（m）+f（m²-2）≥0?f（m）≥-f（m²-2）=f（2-m²），
由單調(diào)性又可得，該不等式等價于m≥2-m²，即m²+m-2≥0，
解可得，m≤-2或m≥1，
即（-∞，-2]∪[1，+∞）
故答案為（-∞，-2]∪[1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合運用，其中將不等式的恒成立與奇偶性、單調(diào)性結(jié)合，解題時，注意先分析函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化不等式，進(jìn)而求解．