已知函數(shù)f(x)=
1
a
-
1
x
(a>0,x>0)

(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù);
(2)若f(x)在[
1
2
,2]
上的值域是[
1
2
,2]
,求a的值.
分析:(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,設(shè)x2>x1>0,再將f(x1)-f(x2)作差后化積,證明即可;
(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,從而在[
1
2
,2]上單調(diào)遞增,由f(2)=2可求得a的值.
解答:證明:(1)證明:設(shè)x2>x1>0,則x2-x1>0,x1x2>0,
f(x2)-f(x1)=(
1
a
-
1
x2
)-(
1
a
-
1
x1
)
=
1
x1
-
1
x2
=
x2-x1
x1x2
>0
,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的.
(2)∵f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,
∴f(x)在[
1
2
,2]
上單調(diào)遞增,
f(
1
2
)=
1
2
,f(2)=2
,
a=
2
5
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,著重考查函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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