Question

（2013•棗莊二模）已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰最高點與最低點之間的距離為

4+π2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4π]內(nèi)的所有零點之和．

Answer 1

分析：由條件求得φ和ω的值，可得函數(shù)f（x）=-cosx，令g（x）=0，可得 f（x）=

1

2

，即 cosx=-

1

2

，由此求得 x 的解析式，再由x∈[0，5π），求得g（x）在區(qū)間[0，5π）內(nèi)零點的值，從而求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4π]內(nèi)的所有零點之和．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）為偶函數(shù)，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函數(shù)f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期為

2π

ω

，最大值為1．
設(shè)圖象上最高點為（x₁，1），與之相鄰的最低點為（x₂，-1），則|x₂-x₁|=

T

2

=

π

ω

．
∵其圖象上相鄰最高點與最低點之間的距離為

4+π2

=

( π ω )2+22

，解得ω=1，
∴函數(shù)f（x）=-cosx．
（2）函數(shù)f（x）在[0，4π]內(nèi)的所有零點為：

π

2

，

3π

2

，2π+

π

2

，2π+

3π

2

，
∴函數(shù)f（x）在[0，4π]內(nèi)的所有零點之和為

π

2

+

3π

2

+(2π+

π

2

)+(2π+

3π

2

)=8π．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，求函數(shù)的零點，屬于中檔題．