已知△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為a、b、c,且bcosC=(2a-c)cosB.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若y=cos2A+cos2C,求y的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式,移項(xiàng)后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形,根據(jù)A為三角形的內(nèi)角,得到sinA不為0,進(jìn)而得到cosB的值,再由B為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù);
(Ⅱ)由第一問(wèn)求出的B的度數(shù),根據(jù)內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù),進(jìn)而得到2A+2C的度數(shù),用2A表示出2C,接著把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),把表示出的2C代入,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值變形,合并后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式把所求式子化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由2A的范圍,得到這個(gè)角的范圍,得到正弦函數(shù)的值域,即可得到所求式子的范圍.
解答:解:(Ⅰ)由正弦定理可得:sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,(2分)
即sin(B+C)=2sinAcosB,
因?yàn)?<A<π,所以sinA≠0,
,
;(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
則y=cos2A+cos2C
=
=
,

,(8分)
所以y的取值范圍為.(10分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦定理,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式,二倍角的余弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a,b,c成等比數(shù)列,cosB=
3
4

(Ⅰ)求
1
tanA
+
1
tanC
的值;
(Ⅱ)設(shè)
BA
BC
=
3
2
,求a+c
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,滿足A<B<C,且sinA:sinB:sinC=5:7:k.
(1)已知k=11,求△ABC的最大角的余弦值;
(2)若a=10,且△ABC為鈍角三角形,求c的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)為a、b、c,且bcosC=(2a-c)cosB,則y=cos2A+cos2C的最小值為
1
2
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,a=1, b=
3
, cosC=-
3
3

(1)求△ABC的面積;
(2)求sin(B-A)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,A=
π6
,b=2acosB

(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若a=2.求△ABC的面積.

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